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一、特征方程与特征根二、特征方程与特征根 示例 ( 重要 )
一、特征方程与特征根
常系数线性齐次递推方程标准型 :
{
H
(
n
)
−
a
1
H
(
n
−
1
)
−
a
2
H
(
n
−
2
)
−
⋯
−
a
k
H
(
n
−
k
)
=
0
H
(
0
)
=
b
0
,
H
(
1
)
=
b
1
,
H
(
2
)
=
b
2
,
⋯
,
H
(
k
−
1
)
=
b
k
−
1
\begin{cases} H(n) - a_1H(n-1) - a_2H(n-2) - \cdots - a_kH(n-k) = 0 \\\\ H(0) = b_0 , H(1) = b_1 , H(2) = b_2 , \cdots , H(k-1) = b_{k-1} \end{cases}
⎩⎪⎨⎪⎧H(n)−a1H(n−1)−a2H(n−2)−⋯−akH(n−k)=0H(0)=b0,H(1)=b1,H(2)=b2,⋯,H(k−1)=bk−1
常系数 是指数列的 项之前的 系数
a
1
,
a
2
,
⋯
,
a
k
a_1 , a_2 , \cdots , a_k
a1,a2,⋯,ak 都是常数 ,
a
k
≠
0
a_k \not=0
ak=0 ;
b
0
,
b
1
,
b
2
,
⋯
,
b
k
−
1
b_0 , b_1, b_2 , \cdots , b_{k-1}
b0,b1,b2,⋯,bk−1 是 递推方程的
k
−
1
k-1
k−1 个初值 ;
写出特征方程 :
x
k
−
a
1
x
k
−
1
−
⋯
−
a
k
=
0
x^k - a_1x^{k-1} - \cdots - a^k = 0
xk−a1xk−1−⋯−ak=0
特征方程、递推方程的项数、特征方程的次幂数 :
特征方程、递推方程的项数 : 特征方程项的个数 与 常系数线性齐次 递推方程项的个数相同 , 有
k
+
1
k+1
k+1 项 ;
特征方程的次幂数 : 总共有
k
+
1
k+1
k+1 项 , 特征方程项的
x
x
x 的次幂 从
k
k
k 到
0
0
0 , 总共有
k
+
1
k + 1
k+1 项 ;
递推方程 与 特征方程关系 :
x
k
x^k
xk 前的系数
1
1
1 对应
H
(
n
)
H(n)
H(n) 项前的系数
1
1
1 ;
x
k
−
1
x^{k-1}
xk−1 前的系数
−
a
1
-a_1
−a1 对应
H
(
n
−
1
)
H(n-1)
H(n−1) 项前的系数
−
a
1
-a_1
−a1 ;
⋮
\vdots
⋮
x
0
x^{0}
x0 前的系数
−
a
k
-a_k
−ak 对应
H
(
n
−
k
)
H(n-k)
H(n−k) 项前的系数
−
a
k
-a_k
−ak ;
由 递推方程 :
H
(
n
)
−
a
1
H
(
n
−
1
)
−
a
2
H
(
n
−
2
)
−
⋯
−
a
k
H
(
n
−
k
)
=
0
H(n) - a_1H(n-1) - a_2H(n-2) - \cdots - a_kH(n-k) = 0
H(n)−a1H(n−1)−a2H(n−2)−⋯−akH(n−k)=0
可以导出
1
1
1 元
k
k
k 次特征方程 :
x
k
−
a
1
x
k
−
1
−
⋯
−
a
k
=
0
x^k - a_1x^{k-1} - \cdots - a^k = 0
xk−a1xk−1−⋯−ak=0
该
1
1
1 元
k
k
k 次特征方程 称为 原递推方程的 特征方程 ;
该
1
1
1 元
k
k
k 次特征方程 有
k
k
k 个根 , 称为 递推方程 的特征根 ;
由递推方程到特征方程 ( 重点 ) :
递推方程标准形式 : 写出递推方程 标准形式 , 所有项都在等号左边 , 右边是
0
0
0 ;特征方程项数 : 确定 特征方程项数 , 与 递推方程项数相同 ;特征方程次幂数 : 最高次幂是 特征方程项数
−
1
-1
−1 , 最低次幂
0
0
0 ;写出 没有系数 的特征方程 ;逐位将递推方程的系数 抄写 到特征方程中 ;
解出上述特征方程 , 就可以得到特征根 , 一般都是一元二次方程 ;
一元二次方程形式
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
ax^2 + bx + c = 0
ax2+bx+c=0
解为 :
x
=
−
b
±
b
2
−
4
a
c
2
a
x = \cfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
x=2a−b±b2−4ac
二、特征方程与特征根 示例 ( 重要 )
1 . 斐波那契数列示例 :
( 1 ) 斐波那契数列 :
1
,
1
,
2
,
3
,
5
,
8
,
13
,
⋯
1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , \cdots
1,1,2,3,5,8,13,⋯
( 2 ) 递推方程 :
F
(
n
)
=
F
(
n
−
1
)
+
F
(
n
−
2
)
F(n) = F(n-1) + F(n-2)
F(n)=F(n−1)+F(n−2)
描述 : 第
n
n
n 项等于第
n
−
1
n-1
n−1 项 和 第
n
−
2
n-2
n−2 项之和 ;
如 : 第
4
4
4 项的值
F
(
4
)
=
5
F(4) = 5
F(4)=5 , 就等于
第
4
−
1
=
3
4-1=3
4−1=3 项的值
F
(
4
−
1
)
=
F
(
3
)
=
3
F(4-1)=F(3) = 3
F(4−1)=F(3)=3
加上 第
4
−
2
=
2
4-2=2
4−2=2 项的值
F
(
4
−
2
)
=
F
(
2
)
=
2
F(4-2) = F(2) =2
F(4−2)=F(2)=2 ;
( 3 ) 初值 :
F
(
0
)
=
1
,
F
(
1
)
=
1
F(0) = 1 , F(1) = 1
F(0)=1,F(1)=1
根据
F
(
0
)
=
1
,
F
(
1
)
=
1
F(0) = 1, F(1) = 1
F(0)=1,F(1)=1 可以计算
F
(
2
)
F(2)
F(2) , 根据
F
(
1
)
,
F
(
2
)
F(1),F(2)
F(1),F(2) 可以计算
F
(
3
)
F(3)
F(3) , 根据
F
(
2
)
F
(
3
)
F(2)F(3)
F(2)F(3) 可以 计算
F
(
4
)
F(4)
F(4) ,
⋯
\cdots
⋯ , 根据
F
(
n
−
2
)
,
F
(
n
−
1
)
F(n-2) , F(n-1)
F(n−2),F(n−1) 可以计算
F
(
n
)
F(n)
F(n) ;
2 . 写出斐波那契数列的特征方程 :
递推方程 :
F
(
n
)
=
F
(
n
−
1
)
+
F
(
n
−
2
)
F(n) = F(n-1) + F(n-2)
F(n)=F(n−1)+F(n−2)
( 1 ) 递推方程标准形式 :
F
(
n
)
−
F
(
n
−
1
)
−
F
(
n
−
2
)
=
0
F(n) - F(n-1) - F(n-2) = 0
F(n)−F(n−1)−F(n−2)=0
( 2 ) 递推方程写法 :
① 先确定特征方程的项数 : 与递推方程项数相同 ,
3
3
3 项 ;
② 在确定特征方程
x
x
x 的次幂 : 从
3
−
1
=
2
3-1=2
3−1=2 到
0
0
0 ;
③ 初步写出没有系数的递推方程 :
x
2
+
x
1
+
x
0
=
0
x^2 + x^1 + x^0 = 0
x2+x1+x0=0
④ 填充系数 : 然后将没有系数的特征方程
x
2
+
x
1
+
x
0
=
0
x^2 + x^1 + x^0 = 0
x2+x1+x0=0 与
F
(
n
)
−
F
(
n
−
1
)
−
F
(
n
−
2
)
=
0
F(n) - F(n-1) - F(n-2) = 0
F(n)−F(n−1)−F(n−2)=0 对应位的系数填充到特征方程中 :
x
2
x^2
x2 前的系数 对应
F
(
n
)
F(n)
F(n) 项前的系数
1
1
1 ;
x
1
x^1
x1 前的系数 对应
F
(
n
−
1
)
F(n-1)
F(n−1) 项前的系数
−
1
-1
−1 ;
x
0
x^0
x0 前的系数 对应
F
(
n
−
2
)
F(n-2)
F(n−2) 项前的系数
−
1
-1
−1 ;
则最终的 特征方程是
1
x
2
+
(
−
1
)
x
1
+
(
−
1
)
x
0
=
0
1 x^2 + (-1)x^1 + (-1)x^0 = 0
1x2+(−1)x1+(−1)x0=0 , 化简后为 :
x
2
−
x
−
1
=
0
x^2 - x - 1 = 0
x2−x−1=0
特征方程的特征根是 : 上述方程的解就是特征根 , 一般都是一元二次方程 ;
x
=
1
±
5
2
x = \cfrac{1 \pm \sqrt{5}}{2}
x=21±5
参考 : 一元二次方程形式
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
ax^2 + bx + c = 0
ax2+bx+c=0 解为 :
x
=
−
b
±
b
2
−
4
a
c
2
a
x = \cfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
x=2a−b±b2−4ac